En este tema vimos el cómo aplicar una derivada en una función el cual nos ayuda a calcular un máximo y un mínimo y sirve para determinar más que nada los problemas.
En una función que cambia suavemente, un máximo o mínimo se encuentra siempre donde la función se aplana (excepto en un punto silla).
¿Dónde se aplana? Donde la pendiente es cero.
¿Dónde la pendiente es igual a cero?¡La derivada nos lo dice!
Vamos a explorar un ejemplo:
Ejemplo: se lanza una pelota al aire. Su altura en cualquier instante t viene dada por:
h = 3 + 14t − 5t2
¿Cuál es su altura máxima?
Al hacer uso de las derivadas podemos encontrar la pendiente de esa función:
h = 0 + 14 − 5(2t) = 14 − 10t
(Mira a continuación este ejemplo para ver cómo encontramos esa derivada).
Ahora encuentra en dónde la pendiente es cero:
14 − 10t = 0
10t = 14
t = 14 / 10 = 1.4
La pendiente es cero en t = 1.4 segundos
Y la altura en ese momento es:
h = 3 + 14×1.4 − 5×1.42
h = 3 + 19.6 − 9.8 = 12.8
Finalmente:
La altura máxima es 12.8 m (en t = 1.4 s)
¿Cómo sabemos que es un máximo (o mínimo)?
¡Lo vemos en la gráfica! Pero de lo contrario ... las derivadas vuelven al rescate.
Toma la derivada de la pendiente (es decir, la segunda derivada de la función original):
La Derivada de 14 − 10t es −10
Esto significa que la pendiente se hace cada vez más pequeña (−10): viajando de izquierda a derecha, la pendiente comienza en positivo (la función aumenta), pasa por cero (el punto plano) y luego la pendiente se vuelve negativa (la función disminuye):
Una pendiente que se hace más pequeña (y pasa por 0) significa un máximo.
A esto se le llama la Prueba de la Segunda Derivada
En el gráfico de arriba mostré la pendiente antes y después, pero en la práctica hacemos la prueba en el punto donde lapendiente es cero:
Prueba de la Segunda Derivada
Cuando se tiene una función cuya pendiente es cero en x, y la segunda derivada en x es:
menor que 0, entonces es un máximo local
mayor que 0, entonces es un mínimo local
igual a 0, la prueba falla (puede haber otras formas de averiguarlo)
"Segunda derivada: menor que 0 indica un máximo, mayor que 0 indica un mínimo"
Resumen de las exposiciones diario #2 11/Nov/23 Yedaneira Estrada Las variables aleatorias discretas discretas son aquellos resultados numéricos dados de un experimento Las variables aleatorias discretas son aquellas que toman un conjunto numerable de valores. Por ejemplo, el número de caras obtenidas al lanzar un dado es una variable aleatoria discreta. Ejemplos de variables aleatorias discretas Las variables aleatorias discretas siempre son numéricas y contables. Por lo general miden el número veces que ocurre un suceso, por ejemplo: *Número de llamadas recibidas por un centro de llamadas en una tarde. •Cantidad de depósitos bancarios efectuados en un solo día. •Alumnos que aprobaron el examen de Álgebra I, seleccionados al azar de un grupo de 100 estudian ingeniería de una universidad. Valor esperado de una variable aleatoria La esperanza matemática de una variable aleatoria X, es el número que expresa el valor medio del fenómeno que
Integración por fracciones parciales Diario #2 11/Nov/23 Yedaneira Estrada Este método permite integrar alguna de las funciones racionales, que difícilmente se puede resolver mediante otros métodos de integración de fracciones parciales es un método algebraico que permite descomponer una fracción racional en la suma de varias funciones. Cómo integrar funciones por fracciones parciales El método de fracciones parciales es usado para integrar funciones racionales de la siguiente forma: Para integrar a una función racional usando fracciones parciales seguimos los siguientes pasos: 1. Descomponer a la función racional en sus fracciones parciales Puedes hacer una revisión de los métodos de descomposición en fracciones parciales en este artículo . 2. Forma una integral con cada fracción parcial La integral de la suma de fracciones es igual a l
Cálculo de volúmenes método de discos y arandelas 14/Oct/23 Diario clase 2 Yedaneira Estrada Mediante estos métodos he aprendido a calcular los volúmenes sólidos y huecos de las funciones cuando girar sobre el eje X. MÉTODO DE DISCOS El sólido generado al hacer girar una región plana alrededor de un eje se denomina sólido de revolución. Para determinar el volumen de este tipo de sólidos es necesario observar que el área de la sección transversal 𝐴 ( 𝑥 ) es el área de un disco de radio 𝑅 ( 𝑥 ), la distancia de la frontera de la región plana al eje de revolución En este caso la definición de volumen da: MÉTODO DE ARANDELAS O ANILLOS Si la región que gira para generar un sólido no cruza o no hace frontera con el eje de revolución, el sólido tendrá un agujero. Las secciones transversales perpendiculares al eje de revolución son arandelas. Las dimensiones de una arandela representativa son: Radio exterior 𝑹 ( 𝒙 ) Radio interior 𝒓 ( 𝒙 ) El ár
Comentarios
Publicar un comentario