En este tema vimos el cómo aplicar una derivada en una función el cual nos ayuda a calcular un máximo y un mínimo y sirve para determinar más que nada los problemas.
En una función que cambia suavemente, un máximo o mínimo se encuentra siempre donde la función se aplana (excepto en un punto silla).
¿Dónde se aplana? Donde la pendiente es cero.
¿Dónde la pendiente es igual a cero?¡La derivada nos lo dice!
Vamos a explorar un ejemplo:
Ejemplo: se lanza una pelota al aire. Su altura en cualquier instante t viene dada por:
h = 3 + 14t − 5t2
¿Cuál es su altura máxima?
Al hacer uso de las derivadas podemos encontrar la pendiente de esa función:
h = 0 + 14 − 5(2t) = 14 − 10t
(Mira a continuación este ejemplo para ver cómo encontramos esa derivada).
Ahora encuentra en dónde la pendiente es cero:
14 − 10t = 0
10t = 14
t = 14 / 10 = 1.4
La pendiente es cero en t = 1.4 segundos
Y la altura en ese momento es:
h = 3 + 14×1.4 − 5×1.42
h = 3 + 19.6 − 9.8 = 12.8
Finalmente:
La altura máxima es 12.8 m (en t = 1.4 s)
¿Cómo sabemos que es un máximo (o mínimo)?
¡Lo vemos en la gráfica! Pero de lo contrario ... las derivadas vuelven al rescate.
Toma la derivada de la pendiente (es decir, la segunda derivada de la función original):
La Derivada de 14 − 10t es −10
Esto significa que la pendiente se hace cada vez más pequeña (−10): viajando de izquierda a derecha, la pendiente comienza en positivo (la función aumenta), pasa por cero (el punto plano) y luego la pendiente se vuelve negativa (la función disminuye):
Una pendiente que se hace más pequeña (y pasa por 0) significa un máximo.
A esto se le llama la Prueba de la Segunda Derivada
En el gráfico de arriba mostré la pendiente antes y después, pero en la práctica hacemos la prueba en el punto donde lapendiente es cero:
Prueba de la Segunda Derivada
Cuando se tiene una función cuya pendiente es cero en x, y la segunda derivada en x es:
menor que 0, entonces es un máximo local
mayor que 0, entonces es un mínimo local
igual a 0, la prueba falla (puede haber otras formas de averiguarlo)
"Segunda derivada: menor que 0 indica un máximo, mayor que 0 indica un mínimo"
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