Notación de sumatoria

La integral definida

23/sep./2023 Yedaneira Estrada

Diario clase #2

En esta clase vimos la integral definida esta la evaluaremos mediante a y b para así poder llegar a un resultado, este tema se me eso fácil al principio, pero sé que con más practica podre dominar más el tema.

El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos está expresado con la letra griega sigma (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma"). La notación sigma es de la siguiente manera:

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si queremos expresar la suma de los cinco primeros números naturales podemos hacerlo de esta forma:

La integral definida está definida como un límite. Este límite puede calcularse con las fórmulas de integración inmediata. Para calcular el valor de la integral definida evaluamos primero el límite superior y después el límite inferior. La diferencia entre estos valores es el valor de la integral definida.

Ejemplo

Calcula la integral definida:

$\begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx \end{equation*}$

y representa geométricamente el resultado.

Calculamos la integral:

$\begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx = \left.\frac{x^4}{4}\right\vert_{1}^{2} \end{equation*}$

Ahora evaluamos:

$\begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{15}{4} \end{equation*}$

Este resultado representa el área bajo la curva $y = x^3$ , desde $x = 1$ hasta $x=2$ y sobre el eje $x$ . El cálculo de esta integral definida también se puede realizar utilizando la definición: