Cambio de variable

Diario clase #3

30/sep./23

Yedaneira Estrada Aguilar

El tema que aprendimos hoy fue la fórmula de cambio de variable la cual tiene como objetivo reducir el grado de dificultad da la integral mediante el cambio de una variable a modo que la integral resultante no sea más fácil de resolver.

La idea: si no podemos resolverlo aquí, entonces nos movemos a otro lugar donde podamos resolverlo, y luego volvemos a la posición original.

El "cambio de variable" nos puede ayudar a resolver preguntas difíciles, usando los pasos:

Reemplaza una expresión con una variable (como "u")
Resuelve,

Luego pon la expresión de vuelta en la solución (donde está "u").

Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

$\begin{equation*} \int\!\left(5\,x - 7\right)^{12}\,\cdot dx \end{equation*}$

Empezamos definiendo: $\textcolor{red}{u(x)} = \textcolor{red}{5\,x - 7}$ , de donde: $\textcolor{blue}{u'(x)} = \textcolor{blue}{5}$ .
Sustituyendo estos valores en la integral:

$\begin{equation*} \int\!f(u(x))\,u'(x)\,\cdot dx = \int\!f(t)\,\cdot dt \end{equation*}$

obtenemos:

$\begin{equation*} \int\!(\textcolor{red}{5\,x - 7})^{12}\,\left(\displaystyle\frac{\textcolor{blue}{5}}{5}\right)\,\cdot dx= \displaystyle\frac{1}{5}\int\!(\textcolor{red}{u(x)})^{12}\,\textcolor{blue}{u'(x)}\,\cdot dt \end{equation*}$

Observa que hemos completado el diferencial multiplicando por $5/5$ en el integrando. Ahora solamente aplicamos la regla (iv) de integración, y obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \int\!\left(5\,x - 7\right)^{12}\,\cdot dx&=& \displaystyle\frac{1}{5}\int\!(\textcolor{red}{u(x)})^{12}\,\textcolor{blue}{u'(x)}\,\cdot dx\\ &=& \displaystyle\frac{1}{5}\cdot\displaystyle\frac{[u(x)]^{13}}{13} + C \\ &=& \displaystyle\frac{1}{5}\cdot\displaystyle\frac{\left(5\,x - 7\right)^{13}}{13} + C\\ &=& \displaystyle\frac{\left(5\,x - 7\right)^{13}}{65} + C \end{eqnarray*}$

En otros casos vamos a tener que simplificar algebraicamente el integrando para que podamos ver la forma dada en la regla para integrar usando el método de cambio de variable.

Punto clave #1: un

cambio de variable es básicamente invertir la regla de la cadena:

De acuerdo con la regla de la cadena, la derivada de start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 es start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab.
En un cambio de variable, tomamos una expresión de la forma start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab y encontramos su antiderivada, start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10.