Integración por fracciones parciales

Diario #2

11/Nov/23                                                                                                                                                 Yedaneira Estrada

Este método permite integrar alguna de las funciones racionales, que difícilmente se puede resolver mediante otros métodos de integración de fracciones parciales es un método algebraico que permite descomponer una fracción racional en la suma de varias funciones.

Cómo integrar funciones por fracciones parciales

El método de fracciones parciales es usado para integrar funciones racionales de la siguiente forma:

Para integrar a una función racional usando fracciones parciales seguimos los siguientes pasos:

1. Descomponer a la función racional en sus fracciones parciales

Puedes hacer una revisión de los métodos de descomposición en fracciones parciales en este artículo.

2. Forma una integral con cada fracción parcial

La integral de la suma de fracciones es igual a la suma de las integrales de cada fracción.

3. Resuelve cada integral usando el logaritmo natural

Usamos la integral estándar $\int \frac{1}{�}=\ln (�)+�$ y la regla de la cadena.

EJERCICIO 

Calcular la siguiente integral por el método de fracciones simples:

Puesto que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, no es necesario dividir, y se pasa directamente a factorizar el denominador, lo cual es muy sencillo, ya que es una diferencia de cuadrados perfectos:

De esta manera, la integral propuesta quedaría así:

Puesto que el denominador es el producto de dos factores lineales, el integrando se puede expresar de este modo:

Resolviendo la suma de fracciones algebraicas, resulta:

Dado que el denominador siempre es el mismo, deben igualarse los numeradores:

$$�(�+�)-3�+3�=1$$

Igualar los respectivos coeficientes de cada potencia de $�$, conduce a las siguientes ecuaciones:

$\phantom{\mathrm{}}�+\phantom{\mathrm{}}�=0$

$-3�+3�=1$

Se deduce fácilmente, sumando ambas ecuaciones término a término, que:

Puesto que $�=-�$, entonces:

$�=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Por lo tanto:

$$\frac{1}{(�+3)(�-3)}=\frac{�}{�+3}+\frac{�}{�-3}$$

Y la integral buscada se transforma en:

Por lo tanto:

∫x2−9dx​=−21​ln​x+31​​+21​ln​x−31​​+C

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