Integración de potencias de funciones trigonométricas

02/Dic/2023
Diario 1                                                                     Yedaneira Estrada

En esta clase vimos integración de potencias cuando las potencias de funciones trigonométricas es necesario utilizar diferentes identidades que permiten obtener una nueva expresión trigonométrica más sencilla para facilitarla integración. 


Estas integrales se llaman integrales trigonométricas. Son una parte importante de la técnica de integración llamada sustitución trigonométrica, que aparece en Sustitución trigonométrica. Esta técnica nos permite convertir expresiones algebraicas que tal vez no podamos integrar en expresiones que implican funciones trigonométricas, que podremos integrar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Además, este tipo de integrales aparecen con frecuencia cuando estudiamos más adelante los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. 

Ejemplo 2


  \begin{equation*} \int\!\cos^3x\,dx \end{equation*}

Utilizando la identidad:

  \begin{equation*} \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{equation*}

podemos reescribir la integral de la siguiente forma:

\begin{eqnarray*} \int\!\cos^3x\,dx &=& \int\!\left(1 - \sin^2x\right)\,\cos x\,dx \\ &=& \int\!\cos x\,dx - \int\!\sin^2x\,\cos x\,dx \end{eqnarray*}

La primera integral es inmediata. Para la segunda, vamos a definir: u(x) = \sin x, luego, u'(x) = \cos x. Esto nos dice que podemos hacer el cambio de variable:

  \begin{eqnarray*} \int\!\cos^3x\,dx &=& \int\!\cos x\,dx - \int\!\sin^2x\,\cos x\,dx\\ &=& \sin x - \int\![u(x)]^2\,u'(x)\,dx\\ &=& \sin x - \frac{[u(x)]^3}{3} + C\\ &=& \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C \end{eqnarray*}

El artificio de sustituir \cos^2x = 1 - \sin^2x nos sirve para simplificar integrales cuyo integrando consista de la función \cos x elevada a una potencial impar. Por ejemplo, para integrar \cos^5x reescribimos este integrando de la siguiente manera:

  \begin{eqnarray*} \cos^5x &=& \cos^4x\cdot\cos x = \left(1 - \sin^2x\right)^2\cos x \\ &=& \left(1 - 2\,\sin^2x + \sin^4x\right)\,\cos x \end{eqnarray*}

Después podemos definir u = \sin x y proceder como en el ejemplo que acabamos de resolver. En algunos productos de potencias de las funciones \sin x y \cos x también podemos aplicar el mismo artificio matemático. Solamente debemos recordar que la diferencial debe estar completa.










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