YEDANEIRA ESTRADA

diciembre 15, 2023

Sustitución trigonométrica

09/Dic/23

Diario 2 Yedaenira Estrada

En esta clase vimos sustitucion trigonométrica En esta técnica de integración, la estrategia consiste en un cambio de variable utilizando alguna función trigonométrica que permite la reducción del integrando en algo que es una antiderivada inmediata.

Si ninguna de las técnicas de integración discutidas anteriormente es aplicable, se sugiere considerar las siguientes sustituciones:

$\begin{tabular}{ccc} Si el integrando incluye: & \textcolor{white}{~ ~ ~ ~ ~} & Def{}ina: \\ $\sqrt{a^2 - u^2}$ & & $u = a\,\sin\theta$ \\ $\sqrt{a^2 + u^2}$ & & $u = a\,\tan\theta$ \\ $\sqrt{u^2 - a^2}$ & & $u = a\,\sec\theta$ \\ \end{tabular}$

donde $a$ es una constante y $u$ es una variable. A veces, estas mismas sustituciones pueden usarse incluso si la raíz cuadrada no está involucrada.

$\begin{equation*} \int \! \frac{dx}{9 + x^2} \end{equation*}$

Sea $x = 3\,\tan\theta$ , de manera que, $dx = 3\,\sec^2\theta \cdot d\theta$ . Aplicando este cambio de variable, se obtiene:

$\begin{equation*} \int \! \frac{dx}{9 + x^2} &=& \int \! \frac{3\,\sec^2\theta \cdot d\theta}{9 + 9\,\tan^2\theta} \\ &=& \frac{3}{9}\,\int \!\frac{\sec^2\theta \cdot d\theta}{1 + \tan^2\theta} \\ &=& \frac{1}{3}\,\int \!\frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta} \cdot d\theta \\ &=& \frac{1}{3}\,\int d\theta \\ &=& \frac{1}{3}\,\theta + \hat{C} \end{equation*}$